Antes de entrar en detalles sobre un paradigma matemático, quiero recordar aquí a Don Mariano Hormigón Blánquez profesor que fue de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza. Fue mi profesor de problemas de ecuaciones diferenciales, pero también fue una persona que consiguió interesar a unos cuantos de mi promoción en la Historia y Filosofía de la Ciencia. Lo que sigue está tomado de dos publicaciones suyas "Paradigmas y Matemáticas" Seminario de Historia de las Matemáticas de la Universidad de Zaragoza y "El Paradigma Hilbertiano en España" Seminario de Historia de la Ciencia y de la Técnica de Aragón. Descanse en paz Don Mariano.
En la Matemática se suelen distinguir tres grandes paradigmas: el Paradigma Clásico o Griego; El Paradigma Lagrangiano que se inicia en el siglo XVIII y que se caracteriza fundamentalmente por considerar a las Matemáticas como una ciencia útil; el Paradigma Hilbertiano cuyo inicio podemos situar en el final del siglo XIX e inicios del siglo XX. En lo que sigue trataremos sobre éste último.
Suele considerarse a David Hilbert como el matemático que más influyó en la superación del Paradigma Lagrangiano, de ahí el nombre dado al nuevo. El II Congreso de Matemáticos celebrado en París en 1900 es uno de los eventos clave para que se de tal superación.
La cuestión del espacio, la resolución de la ecuación de quinto grado, la teoría de funciones, la teoría de conjuntos, el concepto mismo de número real, la sustitución de la "evidencia" por la consistencia interna son algunos de los factores que señalaron la necesidad de redefinir las claves del conjunto de aspectos definitorios del paradigma. Veamos con un poco más de detalle alguno de estos factores.
En primer lugar la ruptura manifiesta con el marco intuitivo del espacio físico ordinario. Las geometrías no euclídeas rompen con la tradición clásica y hacen ver que la naturaleza podía ser, y de hecho lo era, muy diferente de las formas aparentes que aconsejaba el sentido común.
Las Matemáticas ya no necesitan del conocimiento riguroso de los objetos. Ahora ese rigor se exige a las relaciones que puedan establecerse entre los entes matemáticos.
Nueva versión del punto de partida axiomático. Aquellas ideas "evidentes" que no precisaban demostración y que, en ocasiones, llevaron a los matemáticos griego a cometer errores, se relativizan al máximo dejando la cuestión de su veracidad al libre albedrío del autor.
Estamos en una época de fundamentación y de síntesis. Vamos a pasar de Matemáticas a Matemática. La búsqueda de una cimentación firme para el Análisis Matemático y el Álgebra obliga a dar rigor a los conceptos de número y estructura. Así se llega a tomar la Teoría de Conjuntos como punto de partida para la construcción de la Matemática de la síntesis Hilbertiana.
Se reconoce que la solución de un problema puede ser la demostración de la imposibilidad de resolverlo. Es lo que hace que problemas clásicos como la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo o la resolución por radicales de la ecuación de grado cinco queden perfectamente aclarados al admitir la Comunidad Matemática que su solución es imposible.
Los condicionantes exigidos desde la Grecia clásica sobre la necesidad de poder visualizar las verdades geométricas es barrida por las Geometrías No Euclídeas y los espacios n-dimensionales. En el Paradigma Hilbertiano la única exigencia al discurso matemático es su consistencia lógica interna, por más que su representación o imaginación, en un primer momento fueran de todo punto descabelladas.
Este cambio de paradigma tiene también consecuencias sobre cuáles son los objetivos finales del quehacer matemático y sobre la imagen social de los propios matemáticos. En primer lugar, los matemáticos se convierten en simples profesionales. En cuanto a los objetivos, la búsqueda de la belleza o las revolucionarias metas de los geómetras ilustrados se diluyen en el resbaladizo terreno de unas verdades que podían salir de unas proposiciones o de sus contrarias.
- La Matemática sigue siendo bella, pero de una belleza esotérica e inalcanzable para los no iniciados.
- Se sigue buscando que la conclusión de una cadena de proposiciones sea verdadera, pero ya no se hacen preguntas sobre la veracidad de las premisas de partida.
Recordemos que el Paradigma Lagrangiano se caracterizaba por ser el de las Matemáticas Útiles. Ahora se pasa a pensar que
el tema de la utilidad de la Matemática no debía ser considerado, aunque, por supuesto, lo fuera.
